مبادئ في الحسابيات

I.    مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية

تعريف

الأعداد 0  و 1  و 2  و 3  و 4  و.....تسمى أعداد صحيحة طبيعية و تكون مجموعة تسمى مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية . و نرمز لها ب  و نكتب .

ملاحظة

مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة نرمز لها ب  و نكتب .

تمرين تطبيقي

أتمم بأحد الرمزين   أو  في الحالات التالية   : .

II. الأعداد الزوجية - الأعداد الفردية

·  كل عدد صحيح طبيعي زوجي  يكتب على شكل  بحيث .

·  كل عدد صحيح طبيعي فردي  يكتب على شكل  بحيث .

ملاحظات

·  كل عدد صحيح طبيعي هو إما عدد زوجي أو فردي.

·  العدد الزوجي هو الذي رقم وحداته زوجي.

·  العدد الفردي  هو الذي رقم وحداته فردي. 

مثال

8  و 14  أعداد زوجية.

5  و 17  أعداد فردية.

خاصيات

·  مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي.

·  مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي.

·  مجموع عدد زوجي وعدد فردي هو عدد فردي.

·  جداء عددين زوجيين هو عدد زوجي.

·  جداء  عددين فرديين  هو عدد فردي.

·  جداء عدد زوجي وعدد فردي  هو عدد زوجي.

·  جداء عددين متتاليين هو عدد زوجي.

تمرين تطبيقي

ليكن  .أدرس زوجية الأعداد التالية  :     

III.  مضاعفات عدد -  قواسم عدد

1.   مضاعفات عدد صحيح طبيعي

تعريف

لتكن   و   و   من .

نقول أن  مضاعف ل  إذا وجد عدد صحيح طبيعي  بحيث .

مثال

مضاعفات 3 هي  تكتب على شكل .

ملاحظات

·  0 مضاعف لجميع الأعداد الصحيحة الطبيعية.

·  كل عدد صحيح طبيعي هو مضاعف لنفسه و للعدد 0.

2.   قواسم عدد صحيح طبيعي

تعريف

لتكن   و  من  و  عدد صحيح طبيعي غير منعدم .

نقول أن  قابل للقسمة على  أو  يقسم  إذا وجد عدد صحيح طبيعي غير منعدم  بحيث .

مثال

قواسم  9  هي .

ملاحظات

·  1 قاسم  لجميع الأعداد الصحيحية الطبيعية .

·  كل عدد صحيح طبيعي مخالف ل 1 يقبل على الأقل قاسمان هما 1 و نفسه.

3.   مصادق قابلية القسمة على 2 و 3  و 4  و 5  و 9

ليكن .

·  يكون  قابلا للقسمة على 2 إذا كان رقم وحداته 0  أو 2  أو 4 أو 6  أو 8.

·  يكون  قابلا للقسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه مضاعفا للعدد 3.

·  يكون  قابلا للقسمة على 4 إذا كان رقم وحداته وعشراته يكونان في هذا الترتيب عددا قابلا للقسمة على 4 .

·  يكون  قابلا للقسمة على 5 إذا كان رقم وحداته  0  أو 5.

·  يكون  قابلا للقسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه قابل للقسمة على 9.

مثال

5520 قابل للقسمة على 5.                          111 قابل للقسمة على 3                                    11196 قابل للقسمة على 9

4.   الأعداد الأولية

تعريف

ليكن  . نقول أن  عددا أوليا إذا كان يقبل قاسمان فقط هما 1 و نفسه.

ملاحظة

كل عدد  أولي أكبر من 2 هو عدد فردي.

العدد 1 ليس أولي.

مثال    لائحة الأعداد الأولية الأصغر من 100 هي :

خاصية

كل عدد صحيح طبيعي لا يقبل القسمة على جميع الأعداد الأولية التي مربعاتها أصغر منه هو عدد أولي.

5.   تفكيك عدد غير أولي الى جداء عوامل أولية

خاصية

كل عدد صحيح طبيعي  غير أولي أكبر من 1 يمكن تفكيكه إلى جداء عوامل أولية    حيث الأعداد  أولية موجبة و مختلفة  مثنى مثنى والأعداد  طبيعية غير منعدمة.

عدد قواسم العدد  هو

مثال    تفكيك العدد  إلى جداء عوامل أولية هو :   .

IV.   القاسم المشترك الأكبر - المضاعف الأصغر

1.    قاسم مشترك عددين  -  مضاعف  مشترك عددين  

تعاريف

·      يكون عدد صحيح طبيعي  قاسما مشتركا لعددين صحيحين طبيعيين  و  إذا كان قاسما لكل منهما.

·      يكون عدد صحيح طبيعي  مضاعفا مشتركا لعددين صحيحين طبيعيين  و  إذا كان مضاعفا لكل منهما.

مثال

قواسم 12 هي .                         قواسم 18 هي .

1 و 2 و 3  و 6 هي القواسم المشتركة للعددين 12 و 18.

12 و 24 و 36 هي المضاعفات المشتركة للعددين 4 و 6.

2.    القاسم المشترك الأكبر والمضاعف الأصغر لعددين

تعاريف

· القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين طبيعيين  و  هو أكبر القواسم المشتركة لكل منهما ويرمز له ب .

· المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين طبيعيين  و  هو أصغر المضاعفات المشتركة لكل منهما ويرمز له ب  .

مثال            و

نتائج

·  القاسم المشترك الأكبر لعددين هو جداء العوامل الأولية المشتركة بين تفكيكي العددين إلى جداء عوامل أولية مرفوعة إلى أصغر أس.

· المضاعف  المشترك الأصغر لعددين هو جداء العوامل الأولية المشتركة بين تفكيكي العددين إلى جداء عوامل أولية مرفوعة إلى أكبر أس.

مثال         نعتبر الأعداد التالية:    . حدد   و .

3.    الأعداد الأولية فيما بينها

تعريف

نقول إن  و  أوليان فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر هو 1 و نكتب .

مثال       

4.    المربع الكامل

تعريف

ليكن  . نقول أن  مربع كاملا إذا كان يفكك إلى عوامل قوى زوجية أعداد أولية.

مثال       
رابط التحميل : اضغط هنا

تصنيف : جذع مشترك علمي,دروس