دروس أولى باك علوم تجريبية

تعاريف و مصطلحات

العبارة

تعريف

العبارة في المنطق هي كل نص رياضي يحمل معنى يكون إما صحيحا أو خاطئا ونرمز للعبارة بأحد الرموز  أو  أو...

مثال

 عبارة صحيحة.

  عبارة خاطئة .

الدالة العبارية

تعريف

الدالة العبارية في المنطق هي كل نص رياضي يحتوي على متغير ينتمي إلى مجموعة معينة . ويصبح عبارة كلما عوضنا هذا المتغير بعنصر محدد من هذه المجموعة . نرمز للدالة العبارية ب .

مثال

  عدد زوجي :   عبارة خاطئة .

المكممات

تعريف

·      العبارة  تعني يوجد على الأقل عنصر من  يحقق .

·      العبارة  تعني يوجد عنصر وحيد من  يحقق .

·      العبارة  تعني أن الدالة العبارية  متحققة من أجل عناصر  .

مثال

 عبارة خاطئة .

 عبارة خاطئة .

 عبارة صحيحة.

تمرين تطبيقي

أكتب باستعمال الرموز المنطقية كل من العبارات الآتية   :

1.    " لكل عدد حقيقي سالب  :  العدد  أكبر من أو يساوي 0  " .

2.    " يوجد عدد صحيح طبيعي وحيد   :  يساوي 5 " .

3.    يوجد على الأقل عدد صحيح طبيعي  بحيث  " .

ملاحظة

·   إذا كانت المكممات من نفس الطبيعة فان ترتيبها ليس له أهمية في تحديد المعنى الذي تحمله العبارة المكممة.

·  إذا كانت المكممات من طبيعة مختلفة فترتيبها له أهمية في تحديد المعنى الذي تحمله العبارة المكممة.

تمرين 1

حدد من بين العبارات الآتية الصحيحة منها و الخاطئة :

1.   

2.   

3.   

4.   

العمليات على العبارات

نفي عبارة

تعريف

نفي عبارة  هو العبارة التي تكون خاطئة إذا كانت  صحيحة وتكون صحيحة إذا كانت  خاطئة ونرمز لها ب  .

خاصية

·      نفي العبارة  هو العبارة .

·      نفي العبارة هو العبارة .

مثال

1.      نفي  هو

2.      نفي  هي

تمرين 2

أعط نفي العبارات الآتية :

1.     

2.     

فصل عبارتين

تعريف

لتكن  و عبارتين .

فصل عبارتين  و  هو عبارة تكون خاطئة  إذا كانت العبارتين  و  خاطئتين معا . ونرمز له ب  أو .

v   جدول حقيقة

1	1	1
1	0	1
1	1	0
0	0	0

0 يعني أن العبارة  خاطئة

1 يعني أن العبارة  صحيحة

مثال

1.    " 13 عدد زوجي أو 35 قابل للقسمة على 4" .

2.    " 17 عدد زوجي أو 20 قابل للقسمة على 4" .

عطف عبارتين

تعريف

لتكن  و عبارتين .

عطف عبارتين  و  هو عبارة تكون صحيحة إذا كانت العبارتين  و  صحيحتين معا. ونرمز له ب  و .

v   جدول حقيقة

1	1	1
0	0	1
0	1	0
0	0	0

مثال

1.    " المعادلة  تقبل حلين مختلفين في   و   "  .

2.    "   و  " .

الاستلزام

تعريف

العبارة  أو  والتي تكون خاطئة فقط إذا كانت صحيحة و  خاطئة.تسمى استلزام  و  ويرمز لها ب  .

v   جدول حقيقة

1	1	1
0	0	1
1	1	0
1	0	0

ملاحظة

 و  لا تحملان نفس المعنى .

تمرين 3

نعتبر العبارة  : 

1.    حدد نفي العبارة .

2.    حدد معللا جوابك حقيقة .

التكافؤ

تعريف

تكافؤ العبارتين  و  هو  و  التي تكون صحيحة إذا كانت ل  و  نفس قيم الحقيقة ويرمز لها ب  .           

v   جدول حقيقة

1	1	1
0	0	1
0	1	0
1	0	0

مثال

1.    "    "  .

2.    "     " .

تمرين 4

بين أن  :   

استدلالات رياضية أخرى

الاستدلال بالخلف

للبرهنة على أن العبارة  صحيحة نفترض أنها خاطئة  و نبين أن  حيت  عبارة صحيحة وهذا تناقض.

مثال

بين أن 0 ليس جذرا للحدودية    :

تمرين 5

1.    لكل  من  . بين أن إذا كان  زوجي فإن زوجي .

2.    بين أن لكل  من  :  ليس مربع كامل .

الاستدلال بالمضاد العكس

للبرهنة على  نبرهن في بعض الحالات على .

مثال

بين أن  : 

تمرين 6

بين أن   :    

الاستدلال بفصل الحالات

للبرهنة على  أو  نبرهن في بعض الحالات على أن  و .

مثال

حل في   :  

تمرين 7

بين أن   :    

الاستدلال بالترجع

لتكن  دالة عبارية بحيث  و

للبرهنة على أن  صحيحة نتبع الخطوات التالية :

a.    نتحقق أن  صحيحة.

b.    نفترض أن  صحيحة .

c.    نبين أن صحيحة

مثال

بين أن   :    

تمرين 8

بين أن   :    

تصنيف : دروس أولى باك علوم تجريبية